三角换元的本质

三角换元的本质是利用两个三角恒等式 $sin^2x + cos^2x = 1$ ， $1 + tan^2x = sec^2x$ 进行换元，针对如 $\sqrt{a^2 - x^2}$ 的形式，可起到消去根号的作用。具体来说：

对于 $\sqrt{a^2 - x^2}$ 的形式，令 $x=asint$ 或 $x=acost$ ，即对应 $1-sin^2x=cos^2x$ 或 $1-cos^2x=sin^2x$

对于 $\sqrt{a^2 + x^2}$ 的形式，令 $x=atanx$ ，即对应 $1+tan^2x=sec^2x$

对于 $\sqrt{x^2 - a^2}$ 的形式，令 $x=asecx$ ，即对应 $1-sec^2x=tan^2x$

辅助三角形

下面通过一道例题引出本小节内容

\begin{aligned} & \text{例1} \quad \text{求不定积分}\int \sqrt{a^2 - x^2} dx \end{aligned}

解:

\begin{aligned} & 令x=a\sin t,-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2}，则\sqrt{a^{2}-x^{2}}=\sqrt{a^{2}-a^{2}\sin^{2}t}=a\cos t,d x=a\cos t d t \\ & 则原积分化为\int\sqrt{a^{2}-x^{2}}d x=\int a\cos t\cdot a\cos t d t=a^{2}\int\cos^{2}t d t = \frac{a^{2}}{2}t+\frac{a^{2}}{2}\sin t\cos t+C \end{aligned}

此时，需要将积分还原为 $x$ 的积分，注意到，此时结果中出现了 $cost$ ，在其他题目中，还可能出现 $tant,sect$ 等，将这些值计算出来就需要用到辅助三角形，通过 $x=asint$ 即 $sint=\frac{x}{a}$ ，可以画出辅助三角形

从上述辅助三角形可以看出， $\cos t=\frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{a}$ ，故积分结果为

\int\sqrt{a^{2}-x^{2}}d x=\frac{a^{2}}{2} \arcsin\frac{x}{a}+\frac{1}{2}x\sqrt{a^{2}-x^{2}}+C

三角换元无需拘泥于上述三种情况，对于被积式中出现 $a^{2}-x^{2}$ 的情况，如 $(a^{2}-x^{2})^2$ ，均可以尝试使用三角换元

\begin{aligned} & \text{例2} \quad \text{求不定积分} \int\frac{2+x}{(1+x^{2})^{2}}d x \end{aligned}

解：

\begin{aligned} & 令x= \tan x,-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2}，d x=\sec^2 t d t \\ & 则原积分化为\int\frac{2+\tan t}{\sec^{4}t}\sec^{2}t d t=\int2\cos^{2}t+\sin t\cos t d t = \frac{1}{2}\sin2t+t+\sin^{2}t+C \\ & =\sin t\cos t+t+\sin^{2}t+C \\ & 根据辅助三角形\sin t = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}},\cos t = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}},得\int\frac{2+x}{(1+x^{2})^{2}}d x = \frac{x^2 + x}{x^2 + 1} + \arctan x \end{aligned}