序言

大一上数学分析的时候，老师就说过，积分的计算存在很多技巧，但是同学们不要沉迷于计算的各种技巧中，只需要掌握课本中的基本技巧即可。而笔者在学习过程中，也发现不管是后续的其他数学课程中出现的积分计算，还是考研，数学竞赛等考试中，绝大多数的积分都可以通过课本中所出现的基本技巧解决。该系列文章以同济版《高等数学》课本为例，简要介绍一下积分计算中出现的基本技巧。下面简单带过一下几种较为简单或较为套路化的方法。

基本积分表

基本积分表如下，基本都是求导公式的逆公式。需要注意的是，这不是完整的积分表，还有部分积分表会在后面的篇章进行推导。

∫k dx=kx+C (其中k为常数)∫xμ dx=xμ+1μ+1+C (μ≠−1)∫1x dx=ln⁡∣x∣+C∫dx1+x2=arctan⁡x+C∫dx1−x2=arcsin⁡x+C1=−arccos⁡x+C2∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C∫cos⁡x dx=sin⁡x+C∫sec⁡2x dx=tan⁡x+C∫csc⁡2x dx=−cot⁡x+C∫sec⁡x⋅tan⁡x dx=sec⁡x+C∫csc⁡x⋅cot⁡x dx=−csc⁡x+C∫ex dx=ex+C∫ax dx=axln⁡a+C\begin{aligned} &\int k \,\mathrm{d}x=kx+C \ \text{(其中}k\text{为常数)} \\ &\int x^\mu\,\mathrm{d}x=\frac{x^{\mu+1}}{\mu+1}+C\ (\mu\neq-1) \\ &\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\ln|x|+C \\ &\int\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\arctan x+C \\ &\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C_1=-\arccos x+C_2 \\ &\int \sin x\,\mathrm{d}x=-\cos x+C \\ &\int\cos x \,\mathrm{d}x=\sin x +C \\ &\int\sec^2 x\,\mathrm{d}x=\tan x +C \\ &\int \csc^2 x\,\mathrm{d}x=-\cot x +C \\ &\int \sec x\cdot\tan x \,\mathrm{d}x=\sec x+C \\ &\int\csc x \cdot\cot x \,\mathrm{d}x=-\csc x+C \\ &\int \mathrm{e}^x \,\mathrm{d}x=\mathrm{e}^x+C \\ &\int a^x\,\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C \end{aligned}

分部积分

分部积分就是一个简单的公式，即

∫udv=uv−∫vdu\int udv=uv-\int vdu

其经常用于处理较为复杂的部分或者与其他方法配合，并没有什么好总结的。

待定系数法

待定系数法是基于分式分解定理，将被积函数进行拆分，使其变为多个容易求解的积分。其本质与积分并无太大关系，而且解题过程较为套路，故该系列简单带过。