我们先从单总体的情况开始讲起，建立假设为

H0:μ=0vsH1:μ≠0H_0: \mu = 0 \quad \mathrm{vs} \quad H_1: \mu \ne 0

假设方差已知，样本均值为x‾\overline{x}，为了控制犯第一类错误的概率，由于P(∣u∣≥u1−α/2)=αP(|u| \ge u_{1 - \alpha/2}) = \alpha，因此

∣u∣=∣x‾−μ∣σ/n≥u1−α/2⇒∣x‾∣≥σnu1−α/2|u| = \frac{|\overline{x} - \mu|}{\sigma/\sqrt{n}} \ge u_{1 - \alpha/2} \quad \Rightarrow \quad |\overline{x}| \ge \frac{\sigma}{\sqrt{n}} u_{1 - \alpha/2}

注意，这里我们讨论的是第一类错误，因此μ=0\mu = 0

满足上述条件可以控制第一类错误，在此基础上，我们还需要控制犯第二类错误的概率。需要注意到，在双侧检验中讨论第二类错误时，由于μ\mu不可能同时大于0及小于0，因此，我们需要分类讨论。当μ>0\mu > 0时，记其为μ1\mu_1，也就是说x‾∼N(μ1,σ2/n)\overline{x} \sim N(\mu_1, \sigma^2/n)，对于第二类错误，我们一般会考虑正确率，也就是1−β1 - \beta，即

P(x‾≥σnu1−α/2)≥1−β⇒P(x‾−μ1σ/n≥σnu1−α/2−μ1σ/n)≥1−βP(\overline{x} \ge \frac{\sigma}{\sqrt{n}} u_{1 - \alpha/2}) \ge 1 - \beta \quad \Rightarrow \quad P(\frac{\overline{x} - \mu_1}{\sigma/\sqrt{n}} \ge \frac{\frac{\sigma}{\sqrt{n}} u_{1 - \alpha/2} - \mu_1}{\sigma/\sqrt{n}}) \ge 1 - \beta

由于x‾−μ1σ/n∼N(0,1)\frac{\overline{x} - \mu_1}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0, 1)，结合正态分布图像，可得

σnu1−α/2−μ1σ/n≤−u1−β⇒n≥σ2μ12(u1−α/2+u1−β)2\frac{\frac{\sigma}{\sqrt{n}} u_{1 - \alpha/2} - \mu_1}{\sigma/\sqrt{n}} \le -u_{1 - \beta} \quad \Rightarrow \quad n \ge \frac{\sigma^2}{\mu_1^2}(u_{1 - \alpha/2} + u_{1 - \beta})^2

当μ<0\mu < 0时，P(x‾≤−σnu1−α/2)=P(x‾≥σnu1−α/2)P(\overline{x} \le -\frac{\sigma}{\sqrt{n}} u_{1 - \alpha/2}) = P(\overline{x} \ge \frac{\sigma}{\sqrt{n}} u_{1 - \alpha/2})，因此与上述情况相同。至此我们可以得到单总体的最小样本量公式为

σ2μ12(u1−α/2+u1−β)2\frac{\sigma^2}{\mu_1^2}(u_{1 - \alpha/2} + u_{1 - \beta})^2

接着，我们来推导双总体的情况，其假设改写为

H0:μ1−μ2=0vsH1:μ1−μ2≠0H_0: \mu_1 - \mu_2 = 0 \quad \mathrm{vs} \quad H_1: \mu_1 - \mu_2 \ne 0

假设样本均值为x‾\overline{x}与y‾\overline{y}，样本量为mm与nn，样本方差为σ12\sigma_1^2与σ22\sigma_2^2，为了控制犯第一类错误的概率，由于P(∣u∣≥u1−α/2)=αP(|u| \ge u_{1 - \alpha/2}) = \alpha，因此

∣u∣=∣x‾−y‾∣σ12m+σ22n≥u1−α/2⇒∣x‾−y‾∣≥σ12m+σ22nu1−α/2|u| = \frac{|\overline{x} - \overline{y}|}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{m} + \frac{\sigma_2^2}{n}}} \ge u_{1 - \alpha/2} \quad \Rightarrow \quad |\overline{x} - \overline{y}| \ge \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{m} + \frac{\sigma_2^2}{n}} u_{1 - \alpha/2}

在此基础上我们控制第二类错误，假设Δ=μ1−μ2>0\Delta = \mu_1 - \mu_2 > 0，则x‾−y‾∼N(Δ,σ12m+σ22n)\overline{x} - \overline{y} \sim N(\Delta, \frac{\sigma_1^2}{m} + \frac{\sigma_2^2}{n})

P(x‾−y‾≥σ12m+σ22nu1−α/2)≥1−β⇒P(x‾−y‾−Δσ12m+σ22n≥σ12m+σ22nu1−α/2−Δσ12m+σ22n)≥1−βP(\overline{x} - \overline{y} \ge \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{m} + \frac{\sigma_2^2}{n}} u_{1 - \alpha/2}) \ge 1 - \beta \quad \Rightarrow \quad P(\frac{\overline{x} - \overline{y} - \Delta}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{m} + \frac{\sigma_2^2}{n}}} \ge \frac{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{m} + \frac{\sigma_2^2}{n}} u_{1 - \alpha/2} - \Delta}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{m} + \frac{\sigma_2^2}{n}}}) \ge 1 - \beta

由于x‾−y‾−Δσ12m+σ22n∼N(0,1)\frac{\overline{x} - \overline{y} - \Delta}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{m} + \frac{\sigma_2^2}{n}}} \sim N(0, 1)，结合正态分布图像，记k1m=nk_1m = n及k2σ12=σ22k_2\sigma_1^2 = \sigma_2^2，可得

σ12m+σ22nu1−α/2−Δσ12m+σ22n≤−u1−β⇒n≥(k1+k2k1)σ22Δ2(u1−α/2+u1−β)2\frac{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{m} + \frac{\sigma_2^2}{n}} u_{1 - \alpha/2} - \Delta}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{m} + \frac{\sigma_2^2}{n}}} \le -u_{1 - \beta} \quad \Rightarrow \quad n \ge (\frac{k_1 + k_2}{k_1})\frac{\sigma_2^2}{\Delta^2}(u_{1 - \alpha/2} + u_{1 - \beta})^2

由于A/B测试是要在测试之前就确定最小样本量的，因此，我们无法计算样本方差用于代替方差，对此，我们一般会对现有数据计算方差，并用其代替实验组与对照组的方差。且考虑到，一般A/B测试中的实验组与对照组的样本数是相同的。综上，可得k1=1k_1 = 1且k2=1k_2 = 1，上述公式可简化为

σ2Δ2(u1−α/2+u1−β)2\frac{\sigma^2}{\Delta^2}(u_{1 - \alpha/2} + u_{1 - \beta})^2

这也就是我们熟知的最小样本量公式。